(to try, strive to do sth. , encourage s.o. etc) in any way one can, exerting every possible effort: (try) with all one's might
(do) everything in one's power (to...)
(do) everything (humanly) possible (to...)
(do) all one can
(try) as hard as one can
(do) one's utmost
(do (try)) one's (very) best (to...)
(in limited contexts) (fight) tooth and nail.
Бесплодные сожаления о минувшем, жгучие упреки совести язвили его (Обломова), как иглы, и он всеми силами старался свергнуть с себя бремя этих упрёков... (Гончаров 1). Fruitless regrets for the past and the stinging reproaches of conscience pricked him (Oblomov) like needles, and he tried with all his might to throw off the burden of this censure... (I b).
С тех пор, как заболел несчастный Иса, и до этих дней все родственники, и в особенности старый Хабуг, всеми силами помогали его семье (Искандер 3). Up to this point, ever since the unfortunate Isa had fallen ill, all the relatives, and old Khabug in particular, had done everything in their power to help his family (3a).
...Не верю! He могу верить!» - повторял озадаченный Разумихин, стараясь всеми силами опровергнуть доводы Раскольникова (Достоевский 3). "I don't believe it! I can't believe it!" Razumikhin repeated, perplexed, trying as hard as he could to refute Raskolnikov's arguments (3b).
Юрий Андреевич лёг ничком на койку, лицом в подушку. Он всеми силами старался не слушать оправдывавшегося Ливерия... (Пастернак 1). Yurii Andreievich lay down flat on his bunk, his face in his pillow, doing his utmost not to listen to Liberius justifying himself... (1a).
Большой русско-английский фразеологический словарь. — М.: ACT-ПРЕСС КНИГА. С.И. Лубенская. 2004.