Образовано от основы dosog, к которой восходит и глагол и досягать. Изначальное значение слова – "то, что достается", затем – "то, что досталось". Промежуточное значение – "способности достигнуть чего-либо" (в диалектах человек с досугом – "человек с умением", а досужий – "преуспевающий"); окончательное значение "время, не занятое работой".
Этимологический словарь русского языка. — СПб.: ООО "Виктория плюс". Крылов Г. А.. 2004.