Древнерусское заимствование из тюркских языков, где бадья – "таз, лохань" восходит к персидскому бадийе с тем же значением.
Этимологический словарь русского языка. — СПб.: ООО "Виктория плюс". Крылов Г. А.. 2004.
Этимологический словарь русского языка. — СПб.: ООО "Виктория плюс". Крылов Г. А.. 2004.