1) охотиться The huntsmen rode fast, chasing after the fox. ≈ Охотники гнали лису.
2) разг. догонять Chase after Anne and ask her to get some eggs while she's at the shops. ≈ Догони Энн и скажи ей, чтобы еще яиц купила.
3) разг. добиваться чьей-л. любви She's been chasing after that man for years. ≈ Она добивалась этого мужчины многие годы. гоняться
Большой англо-русский и русско-английский словарь. 2001.