Akademik

свойство дедуктивных (в частности, формальных) теорий и отд. их предложений (соответственно формул) или множеств предложений (формул). Предложение дедуктивной теории наз. совместимым с постулатами (аксиомами и правилами вывода) этой теории, если с присоединением этого предложения к постулатам данной теории сохраняется ее непротиворечивость. (Строго говоря, в этом определении молчаливо подразумевается непротиворечивость исходной системы постулатов; условие это, впрочем, нужно лишь для удобства и естественности дальнейших определений; вопрос о том, считать ли любое предложение совместимым или, наоборот, несовместимым с противоречивой системой постулатов, принципиального значения не имеет). С. системы предложений – это попросту С. их конъюнкции; С. всей теории в целом – это, в соответствии с данным выше определением С. предложения, непротиворечивость конъюнкции всех аксиом (при фиксированных правилах вывода), т.е. С. относительно пустой совокупности аксиом. (Именно здесь нужна сделанная выше оговорка о понимании термина "С." по отношению к непротиворечивой системе постулатов.) Т.о., если пренебречь нек-рым психологич. и формально-грамматич. (в рус. яз.) различием, термины "непротиворечивость" и "С." являются синонимами. В англ. языке для обоих этих понятий вообще используется один и тот же термин "consistency".

Обычно говорят просто о С. аксиом, что не совсем точно, поскольку решение вопроса о С. того или иного предложения зависит, вообще говоря, от используемых в рассматриваемой системе правил вывода. Так, предложение ∀nР(n), совместимое в непротиворечивой, но ω-противоречивой (см. Непротиворечивость) системе, правилами вывода к-рой являются modus ponens и правила подстановки, с предложениями Р(0), Ρ(1), Ρ(2), ..., Р(n) (для любого n), оказывается несовместимым с ними, если расширить эту систему за счет присоединения правила бесконечной индукции.

Лит. см. при ст. Непротиворечивость.