Akademik

        способ построения науч. теории, при котором в её основу кладутся некоторые исходные положения (суждения) — аксиомы, или постулаты, из которых все остальные утверждения этой теории должны выводиться чисто логич. путём, посредством доказательств. Построение науки на основе А. м. обычно наз. дедуктивным (см. Дедукция). Все понятия дедуктивной теории (кроме фиксированного числа первоначальных) вводятся посредством определений, выражающих их через ранее введённые понятия. В той или иной мере дедуктивные доказательства, характерные для А. м., применяются во мн. науках, однако гл. область его приложения — математика, логика, а также некоторые разделы физики.

        Идея А. м. впервые была высказана в связи с построением геометрии в Др. Греции (Пифагор, Платон, Аристотель, Евклид). Для совр. стадии развития А. м. характерна выдвинутая Гильбертом концепция формального А. м., которая ставит задачу точного описания логич. средств вывода теорем из аксиом. Осн. идея Гильберта — полная формализация языка науки, при которой её суждения рассматриваются как последовательности знаков (формулы), приобретающие смысл лишь при некоторой конкретной интерпретации. Для вывода теорем из аксиом (и вообще одних формул из других) формулируются спец. правила вывода. Доказательство в такой теории (исчислении, или формальной системе) — это некоторая последовательность формул, каждая из которых либо есть аксиома, либо получается из предыдущих формул последовательности по к.-л. правилу вывода. В отличие от таких формальных доказательств, свойства самой формальной системы в целом изучаются содержат. средствами метатеории. Осн. требования, предъявляемые к аксиоматич. формальным системам,— непротиворечивость, полнота, независимость аксиом. Гильбертовская программа, предполагавшая возможность доказать непротиворечивость и полноту всей классич. математики, в целом оказалась невыполнимой. В 1931 Гёделъ доказал невозможность полной аксиоматизации достаточно развитых науч. теорий (напр., арифметики натуральных чисел), что свидетельствовало об ограниченности А. м. Осн. принципы А. м. были подвергнуты критике сторонниками интуиционизма и конструктивного направления.

        см. такжеФормализм в математике и логике, Теория.

        К л и н и С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957 (лит.); Садовский В. Н., А. м. построения науч. знания, в кн.: Филос. вопросы совр. формальной логики, М., 1962; Столл Р., Множества. Логика. Аксиоматич. теории, пер. с англ., М., 1968; Н о в и к о в П. С., Элементы математич. логики, M., 19732.

см. Метод аксиоматический.

    АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД — метод построения теорий, в соответствии с которым разрешается пользоваться в доказательствах лишь аксиомами и ранее выведенными из них утверждениями. Основания для применения аксиоматического метода могут быть разными, что обычно приводит к различению аксиом не только по их формулировкам, но и по их методологическим (прагматическим) статусам. Например, аксиома может иметь статус утверждения, или статус предположения, или статус лингвистического соглашения о желаемом употреблении терминов. Иногда это различие в статусах отражается в названиях аксиом (в современных аксиоматиках для эмпирических теорий среди всех аксиом выделяют часто т. и. постулаты значения, выражающие лингвистические соглашения, а древние греки делили геометрические аксиомы на общие понятия и постулаты, полагая, что первые описывают, вторые строят). Вообще говоря, учет статусов аксиом обязателен, так как можно, например, изменить содержание аксиоматической теории, не изменив при этом ни формулировку, ни семантику аксиом, а поменяв лишь их статус, объявив, скажем, одну из них новым постулатом значения. Аксиоматический метод был впервые продемонстрирован Евклидом в его “Началах”, хотя понятия аксиомы, постулата и определения рассматривались уже Аристотелем. В частности, к нему восходит толкование аксиом как необходимых общих начал доказательства. Понимание аксиом как истин самоочевидных сложилось позднее, став основным с появлением школьной логики Пор-Рояяя, для авторов которой очевидность означает особую способность души осознавать некоторые истины непосредственно (в чистом созерцании, илиинтуиции). Между прочим, убеждение Канта в априорном синтетическом характере геометрии Евклида зависит от этой традиции не считать аксиомы лингвистическими соглашениями или предположениями. Открытие неевклидовой геометрии (Гаусс, Лобачевский, Бойяи); появление в абстрактной алгебре новых числовых систем, причем сразу целых их семейств (напр., /”-адические числа); появление переменных структур вроде групп; наконец, обсуждение вопросов типа “какая геометрия истинна?” — все это способствовало осознанию двух новых, по сравнению с античным, статусов аксиом: аксиом как описаний (классов возможных универсумов рассуждений) и аксиом как предположений, а не самоочевидных утверждений. Так сформировались основы современного понимания аксиоматического метода. Это развитие аксиоматического метода становится особенно наглядным при сопоставлении “Начал” Евклида с “Основаниями геометрии” Д. Гильберта—новой аксиоматики геометрии, базирующейся на высших достижениях математики 19 в. К концу того же века Дж. Пеано дал аксиоматику натуральных чисел. Далее аксиоматический метод был использован для спасения теории множеств после нахождения парадоксов. При этом аксиоматический метод был обобщен и на логику. Гильберт сформулировал аксиомы и правила вывода классической логики высказываний, а П. Бернайс —логики предикатов. Ныне аксиоматическое задание является стандартным способом определения новых логик и новых алгебраических понятий. В последние десятилетия по мере развития моделей теории аксиоматический метод стал в почти обязательном порядке дополняться теоретико-модельным.

    Я. Я. Непейвода