Akademik

- 1) В. т. о бесконечном про и введении [1]: для любой наперед заданной последовательности точек плоскости комплексного переменного

существует целая функция, имеющая нулями точки этой последовательности и только пх. Эта функция может быть построена в виде канонического произведения

где - кратность нуля в последовательности (1), а

Множители

наз. первичными, или примарными, множителями Вейерштрасса. Показатели в них выбираются так, чтобы обеспечить сходимость произведения (2), напр., выбор обеспечивает сходимость (2) для любой последовательности вида (1). Из этой теоремы вытекает также, что любая целая функция с нулями (1) имеет вид

где - канонич. произведение (2), а - нек-рая целая функция (см. также Адамара теорема о целых функциях).

В. т. о бесконечном произведении обобщается на случай произвольной области : какова бы ни была последовательность точек , не имеющая предельных точек в D, существует голоморфная в Dфункция , имеющая нули в точках и только в них.

Утверждение теоремы в части, касающейся существования целой функции с произвольно заданными нулями, обобщается следующим образом на функции многих комплексных переменных; пусть каждой точке комплексного пространства поставлена в соответствие нек-рая ее окрестность п голоморфная в функция . При этом, если пересечение окрестностей точек , не пусто, то отношение в есть голоморфная функция. При этих условиях существует целая функция в такая, что отношение есть голоморфная функция в любой точке . Это утверждение известно как вторая теорема Кузена (см. также Кузена проблемы).

Лит.:[1] Weierstrass К., Math. Werke, Bd 2, В., 1895; [2] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, т. 2, 2 изд., М., 1968; [3] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, ч. 1-2, 2 изд., М., 1976.

Е. Д. Соломенцев.

2) В. т. о приближении функций: для любой действительной непрерывной на отрезке функции существует последовательность алгебра-ич. многочленов равномерно сходящаяся на к функции ; установлена К. Вейерштрассом [1].

Аналогичные результаты имеют место во всех пространствах . Усилением этой В. т. является Джексона теорема.

Эта теорема справедлива также для действительных непрерывных -периодич. функций и тригонометрич. полиномов или, напр., для действительных функций, непрерывных на ограниченной замкнутой области т- мерного пространства, и многочленов от тпеременных. Об обобщениях см. Вейерштрасса - Стоуна теорема. О приближении функций комплексного переменного многочленами см. [3].

Лит.:[1] Weierstrass К., "Sitzungsber. Acad. Berlin". 1885, S. 633-9, 789-805; 12] Ахиезер Н. И., Лекции по теории аппроксимации, 2 изд., М., 1965; [3] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, ч. 1-2, 2 изд., М., 1976. Ю. Н. Субботин.

3) В. т. о равно мерно сходящихся рядах аналитических функций [1]: если члены ряда

равномерно сходящегося внутри области Dкомплексной плоскости , являются аналитич. функциями в D, то его сумма s(z) также является аналитич. функцией в D. Кроме того, ряды

полученные m-кратным почленным дифференцированием ряда (*) при любом т, также равномерно сходятся внутри Dк производным от суммы ряда (*). Эта теорема обобщается на ряды аналитич. функций многих комплексных переменных, равномерно сходящиеся внутри области Dкомплексного пространства , , причем ряды, составленные из частных производных любого порядка от членов ряда (*), сходятся равномерно к соответствующим частным производным от суммы ряда:

Е. Д. Соломснцсе.

4) В. т. о равно мерной сход и мост и на границе области [1]: если члены ряда

непрерывны в замкнутой ограниченной области комплексной плоскости и аналитичны в , то из равномерной сходимости этого ряда на границе области вытекает его равномерная сходимость в замкнутой области .

Это свойство рядов, составленных из аналитич. функций, остается справедливым и для аналитич. или гармония, функций, заданных соответственно в областях комплексного пространства или евклидова пространства . Вообще, оно остается справедливым в любой ситуации, где применим максимума модуля принцип.

Лит.:[1] Weierstrass К., Abhandlungen aus der Funktionenlehre, В., 1860; Math. Wcrke, Bd 2, B" 1895; [2J Уиттекер Э. Т., Ватсон Д ш. Н., Курс современного анализа, 2 изд., пер. с англ., ч. 1, М., 1963, гл. 3; [3] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1, М., 1967, гл. 3, т. 2, М., 1968, гл. 7. Е. Д. Соломенцев.

5) В. т. подготовительная - теорема, полученная К. Вейерштрассом [1] и сформулированная им первоначально в 1860 как подготовительная лемма при доказательстве существования и аналитичности неявной функции комплексного переменного, определяемой уравнением , левая часть к-рого есть голоморфная функция двух комплексных переменных. Эта теорема обобщает на функции многих комплексных переменных следующее важное свойство голоморфных функций одного комплексного переменного: если - голоморфная функция от в окрестности начала координат и то она представима в виде , где - кратность нуля в начале координат, , а голоморфная функция отлична от нуля в нек-рой окрестности начала.

Формулировка подготовительной теоремы Вейерштрасса для функций пкомплексных переменных, Пусть

- голоморфная функция от в поликруге

причем

Тогда в некотором полпкруге

функция представима в виде

где - кратность нуля функции

f(z_n)=f(0, 0, ..., 0, z_n)

вначале координат, s>=l; функции f_j(z₁, z₂, ..., z_n-1) голоморфны в полнкруге

функция голоморфна и не обращается в нуль в поликруге V. Функции и определяются условиями теоремы однозначно.

Вместо начала координат можно принять, изменив соответственно формулировку, любую точку комплексного пространства . Из подготовительной В. т. вытекает, что при n>1, в отличие от случая одного комплексного переменного, во всякой окрестности любого нуля голоморфной функции находится бесконечное множество других ее нулей.

Подготовительная В. т. имеет .чисто алгебраич. природу п может быть сформулирована для формальных степенных рядов. Пусть - кольцо формальных степенных рядов от переменных с коэффициентами из поля комплексных чисел - такой ряд из этого кольца, члены к-рого имеют низшую степень , причем существует член вида . Тогда можно представить в виде _L,

где - ряды из кольца

свободные члены к-рых равны нулю, a g - ряд из со свободным членом, отличным от нуля. Формальные степенные ряды п определяются по однозначно.

Иногда подготовительной В. т. наз. следующее утверждение о делении: пусть ряд

удовлетворяет только что указанным условиям, - любой ряд из . Тогда существуют такой ряд

и такие ряды

для к-рых выполняется равенство

Подготовительная В. т. верна также для колец формальных ограниченных рядов. Она дает способ индуктивного перехода, напр., от . Таким образом удается установить нек-рые свойства колец , напр., нётеровость и факториальность. Имеется обобщение этой теоремы для дифференцируемых функций (см. [6]).

Лит:[1] Wеlеrstrass К., Abhandlungen aus der Funktionenlehre, В., 1860; Math. Werke, Bd 2, В., 1895; [2] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, ч. 1-2, 2 изд., М., 1976; [3] Бохнер С., Мартин У., Функции многих комплексных переменных, пер. с англ., М., 1951, гл. 9; [4] Ганнинг Р., Росси X., Аналитические функции многих комплексных переменных, пер. с англ., М., 1969, гл. 2; [5] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, М 1972, гл. 2; [6] Мальграиж Б., Идеалы дифференцируемых функций, пер. с англ., М., 1968. Е. Д. Соломенцев.