Akademik

способ получения решения Болъцмана уравнения (кинетического) для одночастичной функции распределения f (t, r, v), являющийся своеобразным методом последовательных приближений, в к-ром локальное распределение Максвелла определяется стандартной формулой, но с локальными значениями плотности числа частиц n(t, r), гидродинамич. скорости и(t, r )и температуры используется в качестве нулевого приближения, а условием существования решения для следующих приближений является выполнение гидродинамич. уравнений для n, и, в предыдущем приближении. Так как свертки по скорости vинтеграла столкновений Больцмана с величинами 1, v и v² равны нулю, то в эти уравнения движения для п, и п интеграл столкновений явно не входит. Решение самого уравнения Больцмана ищется в виде

что приводит к неоднородному интегральному уравнению с линеаризованным относительно функции интегралом столкновений. Неоднородная часть уравнения содержит величины n(t,r), u(t,r), подчиненные упомянутым выше уравнениям. Таким образом, совместно рассматриваются сразу шесть уравнений. Решение уравнения для ищется в виде разложения по многочленам Сонина (присоединенные многочлены Лагерра полуцелого индекса) в пространстве скоростей. Для всего метода характерно, что зависимость функции распределения f(t, r, v) от времени входит только через ее зависимость от локальных величин n(t, r), u(t, r), Нулевое приближение f=f _лок определяет уравнения гидродинамики идеальной жидкости (уравнения Эйлера), к-рые являются условием существования первого приближения для f, ему же соответствуют уже уравнения Навье-Стокса с явными выражениями для коэффициентов диффузии, теплопроводности и двух вязкостен, следующий шаг - уравнение Бэрнетта и т. д. Параметром разложения является, по существу, относительное изменение величин n(t, r), u(t, r), на интервале, равном средней длине свободного пробега (параметр неоднородности), поэтому для задач со скачками этих величин (ударные волны и т. п.) метод не может быть использован.
Изложенный метод решения, основанный на идее решения интегральных уравнений Д. Гильберта (D. Hilbert, 1912), был разработан Д. Энскогом (D. Enskog, 1917) и независимо С. Чепменом (S. Chapman, 1916).
То же решение можно получить методом Греда [5], не столь громоздким, как Ч.- Э. м. При этом функция f представляется в виде ряда по производным по компонентам скорости V(что фактически эквивалентно разложению функции по многочленам Эрмита в трехмерном пространстве скоростей) с зависящими от tи rкоэффициентами, являющимися моментами искомой функции распределения, к-рые и определяются с помощью уравнения Больцмана. Первое приближение для f (приводящее к уравнениям Навье- Стокса) содержит только вторые производные от f _лок.
Полученное указанными методами решение для одночастичной функции распределения можно вывести непосредственно из Боголюбова цепочки уравнений в соответствующем малому значению параметра неоднородности гидродинамическом приближении (т. е. минуя кинетич. уравнение). Однако т. к. последовательные приближения, производимые в цепочке, будут включать учет корреляций более высокого порядка, то совпадение результатов произойдет лишь до первого порядка включительно, т. к. следующее приближение для f уже учитывает тронные корреляции частиц, к-рых уравнение Больцмана не содержит, причем вклады от этих членов конкурируют с теми членами, к-рые соответствуют второму приближению для функции f, удовлетворяющей стандартному уравнению Больцмана.

Лит.:[1] Чепмен С., Каулинг Т. Д., Математическая теория неоднородных газов, пер. с англ., М., 1960; [2] Уленбек Дж., Форд Дж.. Лекции по статистической механике, пер. с англ., М., 1965; [3] Гиршфельдер Д ж., Кертис Ч., Берд Р., Молекулярная теория газов и жидкостей, пер. с англ., М., 1961; [4] Грэд Г., в кн.: Некоторые вопросы кинетической теории газов, пер. с англ., М., 1965, с. 7-128; [5] Grаd H., в кн.: Handbuch der Physik, Bd 12, В.- [а. о.], 1958, S. 205 -94.
И. А. Квасников.