Akademik

- теорема, описывающая все конечномерные ассоциативные действительные алгебры без делителей нуля, доказана Г. Фробениусом [1]. Ф. т. утверждает, что:
1) Поле действительных чисел и поле комплексных чисел являются единственными конечномерными действительными ассоциативно-коммутативными алгебрами без делителей нуля.
2) Тело кватернионов является единственной конечномерной действительной ассоциативной, но не коммутативной алгеброй без делителей нуля.
Существует также описание альтернативных конечномерных алгебр без делителей нуля:
3) Алгебра Кэли является единственной конечномерной действительной альтернативной, но не ассоциативной алгеброй без делителей нуля.
Объединение этих трех утверждений нал. обобщенной теоремой Фробениуса. Все участвующие в формулировке теоремы алгебры оказываются алгебрами с однозначным делением и с единицей. Ф. т. не может быть обобщена на случаи неальтернативных алгебр. Доказано, однако, что размерность любой конечномерной действительной алгебры без делителей нуля может принимать лишь значения, равные 1, 2, 4 или 8.

Лит.:[1] Frobenius F., "J. reine und angew. Math.", 1877, Bd 82, S. 230-315; [2] Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973.
О. А. Иванова.