Akademik

на векторном пространстве Vнад нолем k - элемент tвекторного пространства

где V*=Hom(V, k) - пространство, сопряженное с V. Говорят, что тензор tявляется рраз контравариантным и qраз ковариантным или что tимеет тип ( р, q). Число р наз. контравариантной валентностью, q - ковариантной валентностью, а число р+q - общей валентностью тензора t. Пространство Т ^0,0(V)отождествляется с k. Тензоры типа ( р,0) наз. контравариантными, типа (0, q) - ковариантными, а остальные - смешанными.

Примеры Т.

1) Вектор пространства V(Т. типа , (1,0)).

2) Ковектор пространства V(Т. типа (0, 1)).

3) Каждый ковариантный Т.

где определяет q-линейную форму на Vпо формуле

отображение пространства Т ^0,q в пространство L^q(V) всех q-линейных форм на Vлинейно и инъектив-но; если dim то это отображение является изоморфизмом, так что любая q-линейная форма отвечает нек-рому Т. типа (0, q).

4) Аналогично, каждый контравариантный Т. из Т ^р,0(V)определяет нек-рую р-линейную форму на V*, а если Vконечномерно, то верно и обратное.

5) Каждый Т.

где определяет линейное преобразование пространства V, заданное формулой

если то любое линейное преобразование пространства Vопределяется Т. типа (1, 1).

6) Аналогично, любой Т. типа (1, 2) определяет в Vбилинейную операцию, т. е. структуру k-алгебры; при этом, если dim то любая структура k-алгебры в Vопределяется век-рым Т. типа (1, 2), к-рый наз. структурным тензором алгебры.

Пусть Vконечномерно и v₁, . .., v_n - его базис, v¹, . . ., vⁿ - сопряженный базис пространства V*. Тогда Т.

составляют базис пространства T^p,q (V). Координаты тензора в этом базисе наз. также к о-ординатами тензора tвбазисе v₁, . . ., v_n пространства V. Напр., координаты вектора и ковектора совпадают с их обычными координатами в базисах и , координаты Т. типа (0, 2) совпадают с элементами матрицы соответствующей билинейной формы, координаты Т. типа (1, 1) - с элементами матрицы соответствующего линейного преобразования, координаты структурного Т. алгебры - с ее структурными константами. Если - другой базис пространства то координаты тензора tв этом базисе определяются по формулам

Здесь, как это часто делается в тензорном исчислении, применимо правило суммирования Эйнштейна: по каждой паре одинаковых индексов, один из к-рых - верхний, а другой - нижний, подразумевается суммирование от 1 до п. Обратно, если система п ^p+q элементов поля k, зависящая от базиса пространства V, изменяется при переходе от базиса к базису по формулам (1), то эта система является набором координат нек-рого Т. типа ( р, q).
В векторном пространстве Т ^p,q (V)определены операции сложения Т. и умножения Т. на екаляр из k. При этих операциях соответствующие координаты Т. складываются или умножаются на скаляр. Определена также операция умножения Т. разных типов, к-рая вводится следующим образом. Имеет место естественный изоморфизм векторных пространств

переводящий

в

Поэтому для любых и элемент может рассматриваться как Т. типа (p+r, q+s), к-рый и наз. произведением тензоров tи и. Координаты произведения вычисляются по формуле

Пусть р>0, q>0 и пусть фиксированы числа и где Тогда определено линейное отображение

такое, что

Оно наз. свертыванием (или сверткой) по -му контравариантному и -му ковариантному индексам. В координатах свертка записывается формулами

Напр., свертка типа (1, 1) есть след соответствующего линейного преобразования.
Аналогично определяются Т. на произвольном унитарном модуле Vнад коммутативно-ассоциативным кольцом с единицей. Перечисленные выше примеры и свойства Т. переносятся с соответствующими изменениями на этот случай, причем иногда надо предполагать, что V- свободный или конечно порожденный свободный модуль.
Пусть в конечномерном векторном пространстве над полем kфиксирована невырожденная билинейная форма g(напр., V - евклидово или псевдоевклидово пространство над форму gназывают в этом случае метрическим тензором. Метрический Т. определяет изоморфизм по формуле

Пусть р>0 и пусть фиксирован индекс Тогда формула

определяет изоморфизм называемый опусканием -го контравариантного индекса. Иначе,

В координатах опускание индекса имеет вид

Аналогично определяется изоморфизм подъема -го ковариантного индекса

отображающий на В координатах подъем индекса записывается формулой

где В частности, подъем сначала 1-го, а потом и оставшегося ковариантного индекса метрич. тензора gприводит к Т, типа (2, 0) с координатами g^kll (контравариантный метрический тензор). Иногда опущенный (поднятый) индекс не передвигают на первое (последнее) место, а пишут на том же месте в нижней (верхней) группе индексов, ставя на образовавшемся пустом месте точку. Напр., для координаты Т. записывают в виде

Любое линейное отображение векторных пространств над k естественным образом определяет линейные отображения

и

Если f - изоморфизм, то определяется также линейное отображение

причем Соответствие обладает функторными свойствами. В частности, оно определяет линейное представление группы GL(V) в пространстве T^p,q(V)(тензорное представление).

Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962; [2] Гельфанд И. М., Лекции по линейной алгебре, 4 изд., М., 1971; [З] Кострикин А. И., Манин Ю. И., Линейная алгебра и геометрия, М., 1980; [4] Постниковы. М., Линейная алгебра и дифференциальная геометрия, М., 1979; [5] Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967.
А. Л. Онищик.