Akademik

- свободный объект (свободная алгебра) в многообразии модулей над фиксированным кольцом R. Если R - ассоциативное кольцо с единицей, то С. м.- это модуль, обладающий базисом, т. е. линейно независимой системой порождающих. Мощность базиса С. м. наз. его р а н г о м. Ранг не всегда определен однозначно, т. е. существуют кольца, над к-рыми С. м. может обладать двумя базисами, состоящими из различного числа элементов. Это равносильно существованию над кольцом R двух прямоугольных матриц Аи В, для к-рых

где I _т и I _п - единичные матрицы порядков m и n соответственно. Неоднозначность, однако, имеет место лишь для конечных базисов, если же ранг С. м. бесконечен, то все базисы С. м. равномощны. Кроме того, над кольцами, допускающими гомоморфизм в тело (в частности, над коммутативными кольцами), ранг С. м. определен всегда однозначно.

Кольцо R, рассматриваемое как левый модуль над самим собой, является С. м. ранга один. Всякий левый С. м. является прямой суммой С. м. ранга один. Любой модуль Мпредставим как фактормодуль F₀/Н ₀ нек-рого С. м. F₀. Подмодуль Н ₀ в свою очередь представим как фактормодуль F₁/Н ₁ С. м. F₁. Продолжая этот процесс, получают точную последовательность:

к-рая наз. с в о б о д н о й р е з о л ь в е н т о й модуля М. Тела могут быть охарактеризованы как кольца, над к-рыми все модули свободны. Над областью главных идеалов подмодуль С. м. свободен. Близкими к С. м. являются проективные модули и плоские модули. Лит.:.[1] К о н П., Свободные кольца и их связи, пер. с англ., М., 1975; [2] М а к л е й н С., Гомология, пер. с англ., М., 1966. В. Е. Говоров..