Akademik

квадратичная форма отдвух переменных, т. е. форма вида

если - целые числа, Б. к. ф. наз. целочисленной. Выражение наз. определителем, или дискриминантом, Б. к. ф. Иногда под дискриминантом понимается также величина Арифметич. теория Б. к. ф. начата П. Ферма (P. Fermat), утверждавшим, что всякое простое число вида представимо суммой двух квадратов целых чисел. Законченная теория Б. к. ф. построена Ж. Ла-гранжем (J. Lagrange) и К. Гауссом (С. Gauss). Теория Б. к. ф.- частный случай теории квадратичных форм от ппеременных; арифметич. теория Б. к. ф. равносильна теории идеалов квадратичных полей. Теория Б. к. ф. является одним из истоков теории алгебраических чисел.

Число родов Б. к. ф. с определителем dравно , где s - число различных простых делителей числителя d, кроме случаев (mod 4), (mod 8), когда s увеличивается на 1; при этом, если - dесть квадрат, число родов удваивается. Количество существенно различных примитивных представлений числа тполной системой Б. к. ф. определителя dравно числу решений сравнения.

Как и в общем случае, имеется алгоритм, сводящий вопрос о решении данного диофантова уравнения 2-й степени с двумя неизвестными (в частности, уравнения ) к проблеме арифметич. эквивалентности двух Б. к. ф.

Все целочисленные автоморфизмы примитивной формы представимы в виде

где причем и - целые числа (см. Пелля уравнение). Поэтому проблема эквивалентности двух форм решается теорией приведения Б. к. ф. Теория приведения положительных Б. к. ф. есть частный случай теории приведения положительных квадратичных форм по Минковскому. Теория приведения целочисленных неопределенных Б. к. ф. сводится к теории приведения квадратичных иррациональностей (см. [2], с. 97-103, [3], с. 170-80).

Важную роль в теории чисел играет арифметич. функция - число классов целочисленных примитивных Б. к. ф. определителя d. Известно, что . Нек-рое представление о характере роста функции дает теорема 3игеля: для по найдутся постоянные и для к-рых

(подобная формула имеет место и для ).

Пусть - целое число, или 0 (mod 4), причем если , то или , и пусть есть квадратичное поле, получающееся присоединением к полю рациональных чисел. Целым идеалам поля Fставятся в соответствие целочисленные квадратичные формы

с определителем - . Это приводит к взаимно однозначному соответствию (с точностью до перехода к сопряженным классам идеалов) между классами идеалов поля Fи классами Б. к. ф. При этом соответствии умножение классов идеалов определяет композицию классов Б. к. ф.

Как и для формы от ппеременных, теория Б. к. ф. может быть обобщена на формы вида (*) с коэффициентами а, b, с из заданного алгебраич. числового поля.

Имеются разночтения в определении целочисленной формы, определителя (дискриминанта) формы, эквивалентности форм, класса и рода форм. Приведенное выше определение целочисленной формы принадлежит Л. Кронекеру (L. Kronecker). К. Гаусс требовал (см. [1]), чтобы bбыло четным. При определении эквивалентности (и класса форм) иногда рассматривают только подстановки определителя +1; иногда же . В [6] дается более широкое, чем по Гауссу, определение рода.

Лит.:[1] Гаусс К. Ф., Труды по теории чисел, [пер. с нем. и латин.], М., 1959; [2] Венков Б. А., Элементарная теория чисел, М.-Л., 1937; [3] Jones В. W., The arithmetic theory of quadratic forms, N. Y., 1950; [4] Гельфонд А. О., Линии к Ю. В., Элементарные методы в аналитической теории чисел, М., 1962; [5] Landau Е., Vorlesungen uber Zahlentheorie, Bd 1, Lpz., 1927; [6] Борeвич 3. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; [7] О' Меаrа . Т., Introduction to quadratic forms, В., 1963. А. В. Малышев.