Akademik

-раздел вычислительной математики, изучающий методы приближенного решения дифференциальных уравнений путем их замены конечноразностными уравнениями (р а з н о с т н ы м и с х е м а м и).

Р. с. т. изучает способы построения разностных схем, исследует корректность разностных задач и сходимость решения разностной задачи к решению исходной дифференциальной задачи, занимается обоснованием алгоритмов решения разностных задач. Метод конечных разностей (называемый также методом сеток) является универсальным вычислительным методом, позволяющим эффективно решать сложнейшие задачи математич. физики, включая нелинейные задачи. Отличительной чертой современной Р. с. т. является ориентация на построение и исследование методов, пригодных для ЭВМ.

Основные понятия. Метод конечных разностей применяется в теории дифференциальных уравнений как эффективное средство доказательства теорем существования. Для целей вычислительной математики задачи Р. с. т. существенно меняются. Решая приближенно ту или иную задачу математич. физики, заранее предполагают, что эта задача поставлена корректно; при этом основной целью Р. с. т. становится нахождение и обоснование наилучшего метода решения исходной дифференциальной задачи, формулировка общих принципов построения разностных схем с заданными свойствами для широких классов задач математич. физики.

Ниже излагаются на достаточно общем примере основные понятия, к-рыми оперирует Р. с. т.- понятия аппроксимации, устойчивости, сходимости; демонстрируется один из возможных подходов к построению Р. с. т.

Пусть в n-мерной области Gс границей Г ищется решение дифференциального уравнения

(1)

с дополнительными (граничными, начальными) условиями

(2)

где Lи l- линейные дифференциальные операторы, f(x).и m (х) - заданные функции. Пусть в нек-ром классе функций задача (1), (2) поставлена корректно (т. е. ее решение и(х).существует, единственно и непрерывно зависит от входных данных f(x), m(x)). В методе конечных разностей область G=G+Г приближенно заменяют дискретным множеством точек - сеткой . Параметр h=(h₁, . . ., h_n), шаг сетки, характеризует плотность сетки, и обычно при последовательность сеток G_h, стремится заполнить всю область . Производные, входящие в (1), (2), аппроксимируются на сетке соответствующими разностными отношениями. В результате получается система линейных алгебраич. уравнений

(3)

где -искомая сеточная функция, - заданные сеточные функции L_h, l_h - разностные операторы. Семейство уравнений (3), зависящее от параметра h, наз. р а з н о с т н о й с х е м о й. Хотя уравнение (3) получено путем аппроксимации исходной задачи (1), (2), его можно рассматривать как независимый математич. объект. Из корректности задачи (1), (2) не следует, вообще говоря, корректность разностной задачи (3). Поэтому одной из основных задач Р. с. т. является исследование корректности задачи (3). Кроме того, Р. с. т. изучает сходимость при решения разностной задачи к решению и(х).исходной дифференциальной задачи. Корректность и сходимость тесно связаны между собой.

Пусть множество сеточных функций, заданных на , образует векторное пространство H_h, а операторы действуют в этом пространстве; в пространствах решений и правых частей вводятся нормы

Говорят, что разностная задача (3) поставлена корректно, если для всех достаточно малых и при любых ее решение существует, единственно и для него выполняется оценка

(4)

с константой М, не зависящей от h. Последнее свойство, означающее равномерную но hнепрерывную зависимость решения от входных данных, наз. у с т о йч и в о с т ь ю р а з н о с т н о й с х е м ы. Оценки вида (4) решения разностной задачи через известные правые части наз. а п р и о р н ы м и о ц е н к а м и. Получение априорных оценок составляет основу Р. с. т. Для оценки погрешности решение задачи (3) представляется в виде суммы

где - проекция решения задачи (1), (2) в пространство - погрешность приближенного решения. В силу линейности задачи (3) для погрешности получаются уравнения

(5) где

функции и наз. п о г р е ш н о с т я м и а п п р о к с и м а ц и и разностной схемой (3) уравнения (1) и дополнительного условия (2) соответствен-

но. Говорят, что схема (3) аппроксимирует задачу (1), (2) с m-м порядком аппроксимации, если

Схема (3) имеет m-й порядок точности или сходится со скоростью , если

Для сходимости разностной схемы одной только аппроксимации, вообще говоря, недостаточно: надо потребовать еще, чтобы разностная задача (3) была корректна. Именно, справедливо следующее утверждение: если разностная схема (3) корректна и имеет m-й порядок аппроксимации, то она сходится со скоростью (см. [28]).

Возможны и другие подходы к построению Р. с. т. Так, в теории Лакса (см. [8]) сходимость разностных схем изучается не в пространствах сеточных функций, а в пространстве решений исходной дифференциальной задачи; здесь доказана т. н. теорема эквивалентности: если исходная задача (1), (2) корректна и схема (3) аппроксимирует задачу (1), (2), то устойчивость необходима и достаточна для сходимости. Возможны и другие постановки вопроса о связи устойчивости и сходимости (см., напр., [9]). Исследование сходимости разностных схем проводилось и в пространствах обобщенных решений (см. [10]).

Требования к разностным схемам. При расчетах на современных ЭВМ не всегда достаточно требовать от разностной схемы только сходимости при Использование реальных сеток при конечном шаге сетки предъявляет к схемам ряд дополнительных требований. Они сводятся к тому, что разностная схема помимо обычной аппроксимации и устойчивости должна хорошо моделировать характерные свойства исходного дифференциального уравнения. Кроме того, разностная схема должна удовлетворять определенным условиям простоты реализации вычислительного алгоритма. Ниже рассматриваются нек-рые из этих дополнительных требований.

Под о д н о р о д н о й р а з н о с т н о й с х е м о й (см. [1], [11]) понимается разностная схема, вид к-рой не зависит ни от выбора конкретной задачи из данного класса, ни от выбора разностной сетки. Во всех узлах сетки для любой задачи из данного класса разностные уравнения имеют один и тот же вид. К однородным разностным схемам относятся, в частности, схемы сквозного счета для решения уравнений с сильно меняющимися или разрывными коэффициентами. Схемы сквозного счета не предусматривают явного выделения точек разрыва коэффициентов и позволяют вести вычисления по одним и тем же формулам. Широко используются схемы сквозного счета при расчетах разрывных решений уравнений газовой динамики (см. [1], [5], [12]).

Требование к о н с е р в а т и в н о с т и р а зн о с т н о й с х е м ы означает, что данная разностная схема имеет на сетке такой же закон сохранения, что и исходное дифференциальное уравнение. В частности, если L - самосопряженный оператор и схема (3) консервативна, то L_h - самосопряженный в Н _h оператор, т. е. консервативная схема сохраняет свойство самосопряженности.

Регулярным методом получения консервативных однородных схем является т. н. м е т о д б а л а н с а, или и н т е г р о - и н т е р п о л я ц и о н н ы й м ет о д. Сущность метода баланса состоит в аппроксимации на разностной сетке интегрального закона сохранения (уравнения баланса), соответствующего данному дифференциальному уравнению. Метод баланса нашел широкое применение при аппроксимации уравнений с переменными, в том числе и разрывными, коэффициентами. Другой группой методов построения разностных схем, сохраняющих свойства самосопряженности и положительности исходного оператора, являются методы, основанные на вариационных принципах (метод Ритца, метод конечных элементов) (см. Разностная вариационная схема).

При конструировании разностных схем для уравнений газовой динамики нашел применение принцип полной консервативности (см. [5]). Для уравнений гиперболич. типа оказалось полезным исследование дисперсионных свойств соответствующих разностных уравнений (см. [13]).

Если известно, что при решение исходной дифференциальной задачи стремится к нулю, то естественно требовать того же и от решения аппроксимирующей разностной задачи. Схемы, обладающие этим свойством, наз. а с и м п т о т и ч е с к и у с т о йч и в ы м и (см. [4]).

Другой подход к построению разностных схем лучшего качества состоит в получении схем, удовлетворяющих тем же априорным оценкам, к-рые характерны (неулучшаемы) для исходных дифференциальных уравнений (см. [14]).

Экономичные разностные схемы для многомерных задач математической физики. При решении систем разностных уравнений, аппроксимирующих нестационарные многомерные задачи математич, физики (с числом пространственных переменных два или более), возникают специфич. затруднения, связанные с тем, что число арифметич. операций, необходимых для отыскания решения на новом временном слое, резко возрастает при измельчении сетки. В то же время решение одномерных нестационарных задач осуществляется методом прогонки, к-рый экономичен в том смысле, что он требует конечного (не зависящего от шага сетки h) числа действий на одну точку сетки. В общем случае разностную схему наз. э к о н о м и чн о й, если отношение числа действий, необходимых для отыскания решения на новом временном слое к числу узлов пространственной сетки, не зависит от числа узлов сетки. Обычные неявные разностные схемы не являются экономичными. Наиболее эффективным приемом построения экономичных разностных схем является метод сведения многомерных задач к нескольким одномерным задачам (метод переменных направлений, метод расщепления) (см. [1], [15], [16]).

Новые алгоритмы стимулировали и новый подход к основным понятиям теории разностных схем: аппроксимации, устойчивости, сходимости. Напр., оказалось плодотворным понятие суммарной аппроксимации или аппроксимации в слабом смысле (см. [1], [16]). Сформулирован принцип аддитивности, позволяющий в общем случае строить экономичные разностные схемы, обладающие свойством суммарной аппроксимации (см. [17]). Дальнейшим обобщением разностных схем переменных направлений явились схемы с уравнениями на графах и векторные схемы (см. [18]).

Методы исследования корректности и сходимости разностных схем. Для линейных задач из устойчивости и аппроксимации следует сходимость. Поэтому основное внимание в Р. с. т. уделяется получению априорных оценок, из к-рых следует корректность задач в той или иной норме. Методы получения априорных оценок для разностных схем во многом аналогичны тем же методам в теории дифференциальных уравнений, напр. можно указать следующие методы: разделение переменных, преобразование Фурье, принцип максимума, энергетич. неравенства .

Методы решения сеточных уравнений. Любой сеточный метод для дифференциальных уравнений приводит к большим системам линейных алгебраич. уравнений.

Напр., в случае многомерных задач число уравнений достигает порядка 10⁴-10⁶. Одномерные разностные задачи обычно решают методом прогонки (см. [2]), представляющим собой вариант метода последовательного исключения неизвестных. Наиболее распространенными методами решения многомерных сеточных уравнений являются итерационные методы. В вычислительной практике широко используются такие итерационные методы, как метод Ричардсона с чебышевским набором параметров, итерационные методы переменных направлений, двухступенчатые итерационные методы, представляющие собой комбинацию методов переменных направлений (внутренняя итерация) с каким-либо классич. методом (внешняя итерация). Часто используются также метод верхней релаксации и попеременно-треугольный итерационный метод (см. [2], [6]). Теория итерационных методов может быть изложена как один из разделов общей теории устойчивости разностных схем (см. [2]).

Наметилась тенденция к использованию прямых (неитерационных) методов решения многомерных разностных задач. К таким методам относятся матричная прогонка, быстрое дискретное преобразование Фурье и его обобщения, метод суммарных представлений.

Нелинейные задачи. Развита теория однородных разностных схем для нелинейных уравнений параболич. типа (см. [19]). Обобщена на нелинейный случай теорема Лакса о связи между устойчивостью и сходимостью (см. [20], [21] ). Рассматривались разностные схемы для нелинейных эллиптич. уравнений (см. [23], [24]) и для нелинейных параболич. уравнений (см. [21] , [22]). Имеется ряд общих теорем о корректности разностных схем для нелинейной абстрактной задачи Коши (см. [25]). Изучалась сходимость разностных схем для нелинейных эволюционных уравнений (см. [26], [27])

Лит.:[1] С а м а р с к и й А. А., Теория разностных схем, М., 1977; [2] С а м а р с к и й А. А., Н и к о л а е в Е. С., Методы решения сеточных уравнений, М., 1978; [3] С а м а рский А. А., Андреев В. Б., Разностные методы для эллиптических уравнений, М., 1976; [4] С а м а р с к и й А. А., Г у л и н А. В., Устойчивость разностных схем, М., 1973; [5] С а м а р с к и й А. А., П о п о в Ю. П., Разностные методы решения задач газовой динамики, М., 1980; [6] М а р ч у к Г. И., Методы вычислительной математики, 2 изд., М., 1980; [7] Г о д у н о в С. К., Р я б е н ь к и й В. С., Разностные схемы. Введение в теорию, М., 1973; [8] Р и х т м а й е р Р. Д., М о р т о н К., Разностные методы решения краевых задач, пер. с англ., М., 1972; [9] Г у д о в и ч Н. Н., "Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", 1966, т. 6, № 5, с. 916-21; [10] К у з н е ц о в Н. Н., там же, 1972, т. 12, № 2, с. 334-51; [11] Т и х он о в А. Н., С а м а р с к и й А. А., там же, 1961, т. 1, № 1, с. 5-63; [12] Р о ж д е с т в е н с к и й Б. Л., Я н е н к о Н. Н., Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике, М., 1978; [13] П о т т е р Д., Вычислительные методы в физике, пер. с англ., М., 1975; [14] М о к и н Ю. И., "Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", 1975, т. 15, М 3, с. 661-71; [15] Ф р я з и н о в И. В., там же, 1976, т. 16, № 4, с. 908-921; [16] Я н е н к о Н. Н., Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики, Новосиб., 1967; [17] С а м а р с к и й А. А., "Докл. АН СССР", 1965, т. 165, №6, с. 125З-56; [18] С а м а р с к и й А. А., Ф р я з и н о в И. В., "Beitr. Numer. Math.", 1975, № 4, S. 191-203; [19] С а м а p с к и й А. А., "Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", 1962, т. 2, № 1, с. 25 - 56; [20] Я к у т Л. И., "Докл. АН СССР", 1964, т. 156, № 6, с. 1304-07; [21] A n s о r g e R., Н a s s R., Konvergenz von Differenzenverfahren fur lineare und nichtlineare Anfangswertaufgaben, В., 1970; [22] Д ь я к о н о в Е. Г., Разностные методы решения краевых задач, в. 2 - Нестационарные задачи, М., 1972; [23] К а р ч е в с к и й М. М., Л я ш к о А. Д., "Изв. высш. учебн. заведений. Математика", 1972, № 11, с. 23- 31; 1973, № 3, с. 44-52; [24] С а п а г о в а с М. П., "Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", 1965, т. 5, № 4, с. 638-47; [25] К а р ч е в с к и й М. М., Л а п и н А. В., Л я ш ко А. Д., "Изв. высш. учебн. заведений. Математика", 1972, № 3, с. 23-31; [26] Л а п и н А. В., Л я ш к о А. Д., там же, 1973, № 1, с. 71 - 77; [27] R a v i a r t P. A., "J. math. pures et appl.", 1967, t. 46, № 1, p. 11 - 107; № 2, p. 109-83; [28] Р я б е н ь к и й В. С., Ф и л и п п о в А. Ф., Об устойчивости разностных уравнений, М., 1956. А. В. Гулин, А. А. Самарский.