Akademik

замкнутая относительно равномерной сходимости подалгебра Аалгебры С(X).всех непрерывных комплексных функций на компакте X, содержащая все функции-константы и разделяющая точки компакта X. Последнее условие означает, что для каждой пары x, уразличных точек из Xв алгебре Аимеется функция f, для к-рой Р. а. обычно снабжают sup-нормой:

При этом ||f²|| = ||f||². Каждая банахова алгебра с единицей (даже без предположения коммутативности), норма в к-рой подчинена последнему условию, изоморфна нек-рой Р. а.

Р. а. составляют важный подкласс класса коммутативных банаховых алгебр над полем С комплексных чисел.

Каждой точке отвечает гомоморфизм j_x : А , действующий по правилу j _х (f) = f(x). Поэтому Xестественно топологически вкладывается в пространство максимальных идеалов алгебры Аи при соответствующем отождествлении поглощает границу Шилова. При изучении Р. а. важную роль играют точки пика (т. е. такие точки из X, в к-рых достигается строгий максимум модуля хотя бы для одного элемента из А), мультипликативные вероятностные меры на X(т. е. представляющие меры гомоморфизмов из Л в ) и ортогональные к Амеры на X. Многие конкретные результаты, относящиеся к Р. а., касаются связей между этими объектами.

Р. а. наз. симметричной, если вместе с каждой функцией к алгебре принадлежит и комплексно сопряженная ей функция. Согласно теореме Стоуна - Вейерштрасса, каждая симметричная Р. а. на компакте Xсовпадает с С(Х). Полярный класс составляют т. н. антисимметричные Р. а., вовсе не содержащие действительных функций, кроме констант. Типичный пример - алгебра всех функций, аналитических в открытом единичном диске комплексной плоскости и непрерывных в его замыкании (диск-алгебра). Теорема Шилова - Бишопа: каждая Р. а. определенным способом может быть "склеена" из антисимметричных. Известны и более тонкие классификационные теоремы. Вместе с тем произвольные Р. а. не сводятся к алгебрам аналитич. ций типа диск-алгебра. Напр., можно сконструировать такую Р. а. на одномерном компакте, который совпадает с ее пространством максимальных идеалов, что все точки компакта являются точками пика и одновременно среди элементов алгебры только тождественный нуль может принимать нулевое значение на непустом открытом подмножестве .

Лит.:[1] Гамелин Т., Равномерные алгебры, пер. с англ., М., 1973. Е. А. Горин.