Akademik

- две фигуры в R², имеющие равные площади и соответственно два многоугольника M₁ и М ₂ такие, что их можно разрезать на многоугольники так, что части, составляющие М ₁, соответственно конгруэнтны частям, составляющим М ₂.

Для , равновеликость означает равенство объемов; равносоставленность многогранников определяется аналогично с . Эти понятия обобщаются также на неевклидовы геометрии.

Площадь (многоугольника) есть функция s(M), удовлетворяющая следующим аксиомам:

(a) для любого многоугольника М;

(b) если Месть объединение многоугольников М ₁ ,..., M_k, попарно не имеющих общих точек, то

s(M)=s(M₁)+...+s(M_k);(g) если M₁ и M₂ конгруэнтны, то s(M₁)=s(M₂);

(d) площадь квадрата, стороной которого является единица длины, равна 1.

С помощью этих аксиом определяется площадь прямоугольника.

Теорема. Если два многоугольника равносостав-лены, то они равновелики.

На этой теореме основан метод разбиения, известный еще Евклиду: для вычисления площади многоугольника пытаются разбить его на конечное число частей, из к-рых можно составить фигуру известной площади. Напр., параллелограмм равносоставлен с прямоугольником, имеющим то же основание и ту же высоту (см. рис. 1); треугольник равносоставлен с параллелограммом, имеющим то же основание и вдвое меньшую высоту (см. рис. 2).

Таким образом, вся теория площадей многоугольников может быть построена на основе теоремы о площади прямоугольника.

Существует и другой способ вычисления площадей, основанный на аксиомах (b) и (g),- метод дополнения. Два многоугольника наз. равнодополняемыми, если их можно дополнить соответственно конгруэнтными частями так, чтобы получились конгруэнтные многоугольники.

Напр., параллелограмм и прямоугольник с одинаковыми основаниями и одинаковыми высотами равнодополняемы (см. рис. 3) и потому равновелики.

В евклидовой плоскости два многоугольника в том и только в том случае равновелики, если они равносоставлены (а также если они равнодополняемы). Аналогичная теорема справедлива в плоскости Лобачевского и в эллиптической плоскости. Напротив, в неархимедовой геометрии эквивалентны лишь равновеликость и равнодополняемость; равновеликость же им не эквивалентна.

Теория объемов в базируется на аксиомах (а), (b), (g), (d), аналогичных аксиомам площади. Однако для вычисления объема тетраэдра со времен Евклида используется предельный переход ("чертова лестница"), а в современных учебниках - интеграл, определение к-рого также связано с предельным переходом. Обоснование использования "лишнего" (по сравнению с планиметрией) предельного перехода, доказательство того, что методами разбиения и дополнения невозможно вычислить объем произвольного тетраэдра, составили третью проблему Гильберта. В 1900 М. Ден (М. Dehn), решил третью проблему, доказав, что правильный тетраэдр и равновеликий ему куб не равносоставлены. Для равносоставленности двух равновеликих многогранников Mi и М ₂ в необходимо и достаточно, чтобы для каждого инварианта Дена f(М).(нек-рой функции от длин ребер и величин соответствующих двугранных углов, см. [2]) выполнялось равенство f( М ₁)=f(M₂).

Имеются многомерные обобщения инвариантов Дена, с помощью к-рых сформулировано необходимое условие равносоставленности и доказано, что при правильный re-мерный симплекс не равносоставлен с равновеликим ему кубом. В необходимое условие равносоставленности является также и достаточным. Пусть G - нек-рая группа движений плоскости. Два многоугольника М ₁ и М ₂ наз. G-конгруэнтными, если существует такое движение , что g(M₁)=M₂. Два многоугольника М ₁ и М ₂ наз. G-равносоставленными, если их можно разрезать на части таким образом, что части, доставляющие M₁, соответственно конгруэнтны частям, составляющим M₂ Аналогично определяется G-равносоставленность многогранников.

Пусть S - группа движений, состоящая из всех параллельных переносов и центральных симметрии. Понятия равносоставленности и S-равносоставленности в R² эквивалентны. В частности, равновеликие многоугольники можно разбить на части таким образом, что соответствующие их части не только конгруэнтны, но и имеют соответственно параллельные стороны.

Равносоставленность в том и только в том случае эквивалентна G-равносоставленности, если в случае и в случае , где D₀ - группа всех движений, сохраняющих ориентацию.

Ниже приводится определение флаговых инвариантов, позволяющих дать необходимое и достаточное условие T-равносоставленности, где Т - группа всех параллельных переносов. Пусть - такая последовательность подпространств пространства , что (верхний индекс означает размерность). Пусть, далее, для каждого j=i+l,. . ., n фиксировано одно из двух полупространств, на к-рое разбивается подпространством ; это полупространство наз. "положительным" и обозначено через P^j. Последовательность Ф= ( Р ^п, . .., Pⁱ⁺¹).наз. флагом порядка i в. Пусть, наконец, Q= ( М ^п-1, . . .,М ⁱ) - такая последовательность граней многогранника , что . Если M^j||R^J для всех j = i,. . ., п-1, то полагают

где | М ⁱ| есть i-мерный объем грани М ⁱ, а e_j=+1 в зависимости от того, примыкает ли М ^j+1 к M^j с положительной стороны или нет. Если же хотя бы для одного j, то Н _ф(Q)=0; Н _ф( М ^п) - сумма S Н _ф(Q).по всем последовательностям Q, составленным из граней многогранника М ^п.

Два равновеликих многогранника в том и только в том случае Г-равносоставлены, если для каждого флангового инварианта Н _ф его значения на этих многогранниках одинаковы.

Многогранник наз. k- кратной суммой Минковского, если существуют такие многогранники N₁,. . ., N_k (положительных размерностей), несущие плоскости к-рых порождают разложение пространства в такую прямую сумму, что Mⁿ=N₁+. . . +N_k, (в смысле векторной суммы множеств). Многогранник называется принадлежащим классу , если М ^п можно разбить на конечное число многогранников, каждый из к-рых T-равносоставлен с многогранником, представляющимся в виде k-кратной суммы Минковского.

Многогранник в том и только в том случае, если Н _ф( М ^п)=0 для всех флаговых инвариантов H _Ф порядков, меньших k.

Пусть Г - группа, состоящая из всех гомотетий с положительными коэффициентами и параллельных переносов. В Rⁿ любые два многогранника Г-равносоставлены. Рис. 4 иллюстрирует Г-равносоставленность треугольника и прямоугольника (одинаковыми цифрами обозначены Г-конгруэнтные многоугольники).

Пусть при гомотетии с коэффициентом l>0 объем n-мерного многогранника увеличивается в lⁿ раз. Если принять это утверждение как аксиому, то объем любого многогранника может быть найден методом разбиения.

Пусть группа движений G в n -мерном евклидовом, гиперболическом или эллиптич. пространстве почти транзитивна (т. е. орбита точки всюду плотна); два многогранника в этом пространстве тогда и только тогда G-равнодополняемы, когда они G-равносоставлены.

Лит.:[1] Проблемы Гильберта, М., 1969; [2] Болтянский В. Г., Равновеликие и равносоставленные фигуры, М., 1956; [3] его же, Третья проблема Гильберта, М., 1977; [4] Xадвигер Г., Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии, пер. с нем., 1966; [5] Iessen В., Тhorup A., "Math. Scand.", 1978, v. 43, fasc. 2, p. 211-40.

В. Г. Болтянский.