Akademik

размерности n - гомоморфизм алгебры Анад полем Fв алгебру матриц М _n(F), т. е. сопоставление каждому квадратной матрицы Т(а).порядка п, при к-ром

где . Обычно требуется также, чтобы единице алгебры Асоответствовала единичная матрица; иногда требуется, чтобы и сама алгебра Абыла конечномерной.

Всякое неразложимое представление полупростой алгебры эквивалентно прямому слагаемому регулярного представления. Таким образом, всякая полупростая алгебра является алгеброй конечного (представленческого) типа, т. е. имеет конечное число неизоморфных неразложимых представлений. Неполупростые алгебры могут быть как конечного, так и бесконечного представленческого типа (такова, напр., А={1,r,s|r²=s²=rs=sr=0}). Алгебры бесконечного типа принято делить еще на алгебры дикого типа, задача классификации к-рых содержит в себе классич. нерешенную задачу о паре матриц (т. е. задачу об одновременном приведении к канонич. форме двух линейных операторов в конечномерном пространстве), и алгебры ручного типа.

Основными вопросами, изучаемыми в теории П. а. а., являются получение необходимых и достаточных условий, при к-рых алгебра принадлежит одному из перечисленных типов, и классификация неразложимых представлений в конечном и ручном случаях. В общем случае эти задачи не решены. Описание алгебр конечного и ручного типа и их представлений получено для алгебр, у к-рых квадрат радикала равен нулю (см. [2], [4], [8]-[10]). Решены проблемы Брауэра - Трэлла, т. е. доказано, что над любым полем алгебра бесконечного типа имеет неразложимые представления сколь угодно большой размерности, а над совершенным полем имеется бесконечно много размерностей, в каждой из к-рых имеется бесконечно много неразложимых представлений (см. [5], [7]). Любая алгебра конечного типа над алгебраически замкнутым полем имеет мультипликативный базис, т. е. базис, у к-рого произведение любых двух его элементов либо равно нулю, либо принадлежит этому базису [6]. Полностью решен вопрос о разделении групповых алгебр на ручные и дикие [1].

С П. а. а. тесно связаны представления нек-рых других объектов: колчанов, частично упорядоченных множеств, решеток, боксов.

Лит.:[1] Бондаренко В. М., Дрозд Ю. А., "Записки научных семинаров ЛОМИ", 1977,-т. 71, с. 24-41; [2] Кругляк С. А., там же, 1972, т. 28, с. 60-69; [3] Кэртис Ч., Райнер И., Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, пер. с англ., М., 1969; [4] Назарова Л. А., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1973, т. 37, № 4, с. 752-91; [5] Назарова Л. А., Ройтер А. В., Категорные матричные задачи и проблема Брауэра - Трэлла, К., 1973; [6] Ройтер А. В., Обобщение теоремы Бонгартца, К., 1081; [7] его ж е, "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1968, т. 32, с. 1275-1282; [8] Dlab V., Ringe1 С., Indecomposable representations of graphs and algebras, Prowidence, 1976; [9] DоnovanP., Freislich M. R., The representation theory of finite graphs and associated algebras, [s. I., 1974]; [10] Gabriel P., "Manus. Math.", 1972, v. 6, № 1, p. 71-103.

A. B. Рoйmep.