Akademik

- формула, выражающая инвариантность скалярного произведения при преобразовании Фурье в пространстве L₂(X).

В классич. случае, когда есть n-мерное евклидово пространство, m(z) и m(у).суть n-мерные меры Лебега, преобразование Фурье

на пространстве является непрерывным продолжением классич. преобразования Фурье

( х, у) - скалярное произведение в , с множества

на пространство П. ф. справедлива также, когда X - локально компактная коммутативная топологич. группа, Y - ее группа характеров, - соответствующим образом нормированные инвариантные меры в группах Xи Y, а преобразование Фурье f(х) на пространстве является непрерывным продолжением отображения

с множества на пространство L₂(X). П. ф. обобщается на некоммутативные топологич. группы. Пусть, напр., G - бикомпактная группа, m - инвариантная на ней мера, - неприводимое конечномерное размерности п _a унитарное представление группы Gв гильбертовом пространстве, ,

(* - переход к сопряженному оператору), - след оператора Тогда обобщенная П. ф. имеет вид

Лит.:[1] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального аналила, 5 изд., М., 1981; [2] Наймарк М. А., Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968.

Л. Д. Кудрявцев.