Akademik

кривая x(t).в (n+1)-мерном пространстве переменных t, х ¹,...,х ⁿ, по к-рой точка x(t)=( х ¹(t),...,xⁿ(t)), движение к-рой описывается векторным дифференциальным уравнением

(1)

переводится из начального состояния

(2)

в конечное состояние

(3)
под воздействием оптимального управления u(t), доставляющего минимальное значение заданному функционалу

.⁽⁴⁾

На выбор оптимального управления накладывается ограничение

(5)

где U - замкнутое множество допустимых управлений, Начальный и конечный моменты времени t₀ и t₁ для определенности предполагаются соответственно фиксированным и свободным.

Аналогичным образом О. т. определяется для вариационных задач более общего вида по сравнению с (1) - (5), напр. для задач с подвижными концами и с ограничениями на фазовые координаты. О методах отыскания О. т. см. Вариационное исчисление;численные методы.

Для автономных задач, в к-рых функции f⁰, f не зависят явно от времени t:

более удобным для теории и приложений оказывается понятие фазовой оптимальной траектории. Фазовая оптимальная траектория есть проекция О. т. на n-мерное подпространство фазовых переменных х ¹,...,х". Для автономных задач фазовая О. т. не зависит от выбора начального момента времени t₀. Исследование множества фазовых О. т., переводящих систему из произвольного начального состояния в заданное конечное состояние (или, наоборот, из заданного начального состояния в произвольное конечное), позволяет решить многие качественные вопросы для рассматриваемой вариационной задачи. Построение множества фазовых О. т. является обязательным этапом построения синтеза оптимальных управлений

обеспечивающего движение по О. т. в любой точке фазового пространства.

Лит.:[1] Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф., Математическая теория оптимальных процессов, 3 изд., М., 1976; [2] Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч., Пространство состояний в теории управления, пер. с англ., М., 1970. И. Б. Вапнярский.