Akademik

- специальный, метод для вывода теоремы о разложении по собственным функциям самосопряженного дифференциалького оператора. В частном случае сингулярного дифференциального оператора второго порядка на полуоси соответствующая теорема была впервые получена Г. Вейлем [1]. Общая теорема для случая дифференциального оператора порядка 2n была доказана М. Г. Крейном [2] методом, получившим название Н. ф. м. Соответствующий результат формулируется следующим образом (см. [3]). Пусть l(у)- самосопряженное дифференциальное выражение порядка 2n на интервале - система решений уравнения

удовлетворяющая начальным условиям:

где х ₀- фиксированная точка интервала ( а, b), а есть (k-1) - яквазипроизводная функции . Тогда для всякого самосопряженного расширения Lоператора, порожденного выражением l(у), существует матричная функция распределения

такая, что для любой функции справедливы формулы:

причем интегралы в формулах (1) и (2) сходятся в смысле метрик в соответственно. При этом имеет место аналог равенства Парсеваля

Функционалы j(к), заданные на финитных функциях из наз. направляющими функционалами дифференциального выражения .

Обобщение и развитие Н. ф. м. привело к понятию оснащенного гильбертова пространства и разложения по обобщенным собственным элементам (см. [4], [5], [6]).

Лит.:[1] Wеуl Н., "Math. Ann.", 1910, Bd 68, S. 220- 269; [2] Крейн М., "Докл. АН СССР", 1946, т. 53, № 1, с. 3- 6; [3] Наймарк М. А., Линейные дифференциальные операторы, 2 изд., М., 1969; [4] Березанский Ю. М., Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов, К., 1965; [5] Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Некоторые вопросы дифференциальных уравнений, М., 1958; [6] Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я., Некоторые вопросы гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства, М., 1961; [7] Левитан Б. М., Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка, М.- Л., 1950.

А. И. Логинов.