Akademik

неравенство, дающее оценку снизу нек-рой билинейной формы либо дающее оценку сверху нормы решения нек-рого эллиптич. уравнения через норму известной функции и нормы граничных данных. Пусть

- равномерно эллиптический в области из пространства оператор с коэффициентами пусть область W содержится в области и в нек-рой окрестности границы Sобласти W заданы дифференциальные операторы порядков j такие, что характеристики этих операторов ни в одной точке поверхности Sне являются касательными к S. Тогда в нек-рой окрестности Sсуществуют дифференциальные операторы N_j порядков такие, что

для всех v и u из Здесь ( , ) обозначает скалярное произведение в Форма

наз. коэрцитивной формой на пространстве _ если существуют постоянные такие, что

для всех Здесь - Соболева пространство, а - его подпространство элементов с компактными носителями, т. е. обращающихся в нуль в окрестности границы области W. Неравенство (2) является К. н. для формы D(v, и). Если в (2) можно положить l=0, то D(v, и).наз. строго коэрцитивной.

Если решение иуравнения L(u)=f удовлетворяет на Sусловиям то справедливо неравенство

с нек-рыми постоянными Когда решение иуравнения удовлетворяет на Sусловиям вместо неравенства (3) имеет место следующее неравенство

Это неравенство дает оценку нормы решения иуравнения L(u)=f в пространстве Соболева через норму ив пространстве и нормы функций , j = 0, . . ., т-1, в соответствующих пространствах. Неравенство (4) является К. н. для краевой задачи для эллиптич. уравнения.

При помощи неравенства (4) получается более общее неравенство

К. н. играет важную роль в исследовании коэрцитивных краевых задач и в доказательствах гладкости решений эллиптич. уравнений и, в частности, в доказательствах аналитичности решений аналитических эллиптич. уравнений.

Лит..[1] Agmon S., Lectures on elliptic boundary value problems, [N. Y.], 1965; [2] Morrey C. В., Nirenberg L. "Comm. Pure Appl. Math.", 1957, v. 10, Mi 2, p. 271-90. А. И. Янушаускас.