Akademik

функций - класс функций, характеризуемый свойством единственности: если две функции класса совпадают "в малом", то они тождественны. Простейшим К. к. является класс функций, аналитических на отрезке [ а, b]действительной оси (функция этого класса представляется в достаточно малой окрестности каждой точки отрезка рядом Тейлора): если две аналитические на [ а, b]функции равны на интервале то они тождественны [совпадение "в малом" здесь означает равенство функций на внутреннем интервале (a, b]. Совпадение "в малом" для аналитич. функций может означать и равенство функций вместе со всеми производными в нек-рой точке х ₀, Из совпадения "в малом" в этом новом смысле также следует тождественность функций на всем отрезке.

Э. Борель (Е. Borel) обнаружил, что свойство единственности может иметь место не только для аналитич. функций. В связи с этим Ж. Адамар (J. Hadamard, 1912) поставил следующую проблему. Пусть {М _п}- последовательность положительных чисел и [ а, b]- некоторый отрезок действительной оси. Пусть С{М _п}- множество бесконечно дифференцируемых на [ а, b] функций j(x)таких, что

где K=K(i)- постоянная, не зависящая от п. При этом функция f(x)является аналитической на [ а, b]тогда и только тогда, когда при некотором K=K(f)

Таким образом, класс аналитических на [ а, b]функций есть класс С{п!}. Проблема Адамара состоит в указании условий на числа М _п таких, чтобы всякая функция из класса С{М _п}, обращающаяся в нуль вместе со всеми своими производными в нек-рой точке a₀,была тождественно равна нулю (или, что то же, чтобы две функции из С{М _п}, равные вместе со всеми производными в точке a₀, были всюду равны). Класс С{М _п} с таким свойством наз. квазианалитическим; на [а, b]. Класс С{п!}, согласно сказанному выше,- квазианалитический на [ а, b].

А. Данжуа (A. Denjoy, 1921) привел достаточные условия квазианалитичности. Он указал, что если

М _п = п!(ln n)ⁿ, M_n = n!(ln n)ⁿ (ln ln n)ⁿ, ..., то С{М _п}- квазианалитический (эти классы, в силу (1), шире класса аналитич. функций).

Т. Карлеман (Т. Carleman) полностью решил проблему Адамара, дав необходимые и достаточные условия квазианалитичности. Эти условия в дальнейшем видоизменялись. Теорема Данжуа,- Карлемана о квазианалитичности формулируется так: каждое из следующих условий является необходимым и достаточным для квазианалитичности класса С{М _п}:

а) если положить

то

б) если положить

то

в) либо либо

и

где {М' _п}- выпуклая регуляризация посредством логарифмов последовательности {М _п}.[Условие а) наз. условием Карлеман а, б) - условием Островского, в) - условием Банга - Мандельбройта].

В случае имеем b_n=n/е, выполняется условие а), и снова получаем, что С{п!}- квазианалитич. класс. В случае М _n=n!(ln n)ⁿ имеем выполняется условие а) и потому класс Данжуа С{n!(ln n)ⁿ} - квазианалитический. В случае М _п=n!(ln^1+e n)ⁿ, e>0, имеем

вследствие чего С{М _п)- не К. к.

С. Н. Бернштейн ввел другие К. к. функций. Он показал, что функция f(x)является аналитической на отрезке [ а, b]тогда и только тогда, когда

где M=M(f)и r=r(f) не зависят от n, a E_n(f)- наилучшее приближение функции f(x)на [a, b]многочленами степени п. Имея это ввиду, он рассмотрел класс функций f(x)на [ а, b], удовлетворяющих условию

где n₁, п ₂, ... - некоторая бесконечная возрастающая последовательность целых чисел, и доказал, что если на нек-ром интервале функция этого класса равна нулю, то она тождественно равна нулю. Класс функций С, заданных на [ а, b], наз. квазианалитическим (по Бернштейну), если две функции этого класса, совпадающие в нек-рой части необходимо совпадают на всем отрезке [а, b]. Класс (2) - квазианалитический в этом смысле. Следует заметить, что из условия (2) не вытекает, что f(x).- бесконечно дифференцируемая функция (имеются соответствующие примеры).

Изучаются и другие проблемы квазианалитичности. Напр., решается вопрос о скорости убывания коэффициентов а _п и b _п в ряде

при к-рой класс таких функций квазианалитический; находятся условия на числа М _п такие, чтобы функции f(z), аналитические в круге |z|<1, бесконечно дифференцируемые в замкнутом круге и удовлетворяющие условиям

образовывали К. к., и т. д.

Лит.:[1] Бернштейн С. Н., Собр. соч., т. 2, М., 1954; [2] Мандельбройт С, Квазианалитические классы функций, пер. с франц., Л.- М., 1937; [3] его же, Примыкающие ряды, регуляризация последовательностей. Применения, пер. с франц., М., 1955.

А. Ф. Леонтьев.