Akademik

криволинейная система координат, параметризация множества М,- взаимно однозначное отображение

множества Мна открытое подмножество Dарифметического векторного пространства Rⁿ. Число пназ. размерностью карты, а компоненты х ⁱ (р)вектора - координатами точки относительно карты х. Примером К. служит декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве, введенная П. Ферма (P. Fermat) и Р. Декартом (R. Descartes) и положенная ими в основу аналитич. еометрии. К. (криволинейные координаты) на поверхности в геометрич. исследованиях впервые использовал Л. Эйлер (L. Euler). Б. Риман (В. Riemann) положил понятие К. в основу нового инфинитезимального подхода к обоснованию геометрии (см. [1]). Согласно концепции Б. Римана, основным объектом исследования геометрии является многообразие - множество М, снабженное К. Современное понятие многообразия является естественным обобщением определения Б. Римана.

Карта х: нек-рого подмножества Uмножества М наз. локальной картой множества Мс областью определения U. Если множество Мснабжено структурой топологич. пространства, то при этом дополнительно требуется, чтобы область определения Uбыла открытым подмножеством в М, а отображение хбыло бы гомеоморфизмом. Аналогично определяется К. со значениями в Fⁿ, где F- произвольное нормированное поле, и вообще К. со значениями в топологическом векторном пространстве. Две локальные К. (x,U),( у, V )с областями определения U, V множества Мназ. согласованными класса С ¹, если: 1) их общая область определения изображается на каждой из них открытым множеством (т. е. множества x(W)и y(W)открыты в Rⁿ), 2) координаты точки из общей области определения Wотносительно одной из этих К. являются lраз непрерывно дифференцируемыми функциями от координат этой же точки относительно другой К., т. е. вектор-функция

lраз непрерывно дифференцируема. Множество А={ (х _a, U_a)}попарно согласованных между собой локальных К. (х _a, U_a )множества М, покрывающих все М(U_aU_a= М )наз. атласом множества М. Задание атласа определяет на Мструктуру дифференцируемого многообразия, а локальные К., согласованные со всеми К. этого атласа, наз. допустимыми (или С'-гладкими).

Инфинитезимальным аналогом понятия К. является понятие инфинитезимальной карты порядка k(или, иначе, к-с труи карты, или корепера порядка k). Говорят, что две согласованные между собой локальные карты ( х, U)( у, V )множества Мкасаются друг друга до порядка кв точке если х(р) = у (р)и все частные производные до порядка квключительно вектор-функции уох ^-1:. обращаются в точке х(р)в нуль. Класс j^k_p(x). локальных К., касающихся в точке допустимой локальной К. ( х, U )многообразия М, наз. инфинитезимальной К. порядка кв точке р.

Выбор К. многообразия M позволяет рассматривать различные полевые величины на Мкак числовые функции и применять к ним методы анализа. Вообще говоря, значение полевой величины в точке зависит от выбора К. (Величины, не зависящие от выбора К., наз. скалярными и описываются функциями на многообразии М. )Однако для широкого и наиболее важного класса величин (см. Геометрических объектов теория )их значение в точке зависит только от устройства К. в инфинитезимальной окрестности k-гo порядка этой точки. Такие величины (примерами к-рых являются тензорные поля) описываются функциями на множестве всех кореперов порядка kна М. Вместе с тем изучаются такие свойства величин, к-рые не зависят от выбора К. В связи с этим весьма эффективным оказывается инвариантный бескоординатный подход к задачам дифференциальной геометрии.

Лит.:[1] Риман Б., Соч., пер. с нем., М.- Л., 1948, с. 279-93; [2] Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ. 3 изд., М., 1967; [3] Зуланке Р., Винтген П., Дифференциальная геометрия и расслоения. пер. с нем., М., 1975; [4] Лихнерович А., Теория связностей в цепом и группы голономий, пер. с франц., М., 1960.

Д. В. Алексеевский.